la topologia del limite inferiore non è II-numerabile

Proposizione

La topologia ${\mathbb{R}}_{\ell }$ è I-numerabile, ma non è II-numerabile.

I-numerabilità

Dimostro che ${\mathbb{R}}_{\ell }$ è I-numerabile, ossia $\forall x\in \mathbb{R}:\exists \mathcal{U}(x)$ SFI.
Sia $x\in \mathbb{R}$ e considero $\mathcal{U}(x)=\left\{\left[x,x+q\right[\mid q\in \mathbb{Q}\right\}$ (numerabile). Ogni elemento di tale insieme è un intorno di $x$ e $\forall U\in {\tau }_{\ell }$ risulta che $\exists q\in \mathbb{Q}\mid x\in \left[x,x+q\right[\subseteq U$ in virtù della densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$. Quindi $\mathcal{U}(x)$ è sistema fondamentale di intorni numerabile da cui la tesi.

II-numerabilità

Supponiamo per assurdo che $\exists \beta$ base per ${\mathbb{R}}_{\ell }$ che sia numerabile.
Osservo che $\forall x\in \mathbb{R},\left[x,+\infty \right[\in {\tau }_{\ell }$.
Pertanto $\exists B_x\in \beta \mid x\in B_x\subseteq [x,+\infty [$. Allora $\min B_x=x$, e dunque $\forall x,y\in \mathbb{R},x\ne y:B_x\ne B_y$. Poiché ho trovato un $B_x$ per ogni elemento di $\mathbb{R}$, allora $\beta$ contiene $|\mathbb{R}|={\aleph }_1$ elementi, il che è assurdo.