Teorema sull'immagine di spazi connessi mediante funzioni continue

Teorema

L’immagine di spazi connessi mediante funzioni continue è connesso.

Dim

Siano $X$ uno spazio topologico connesso e $f:X\to Y$ continua.
Supponiamo che $f$ sia suriettiva (in alternativa si può considerare $f:X\to f(X)$)
Se per assurdo $Y$ non fosse connesso, allora si avrebbe una separazione, ossia $\exists A,B\subseteq Y$ tali che $A\cup B=Y$ e $A\cap Y=\varnothing$.
Risulta allora che:

1. $f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)=\varnothing$;
2. $f^{-1}(A),f^{-1}(B)$ sono aperti, in quanto $f$ è continua;
3. $f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)=X$ poiché $f$ è suriettiva;
4. $f^{-1}(A),f^{-1}(B)\ne \varnothing$ poiché $A,B\ne \varnothing$ e $f$ suriettiva.

Ho trovato dunque una separazione di $X$, il che è assurdo in quanto $X$ è connesso.