La Biiezione continua da compatto a Hausdorff è un omeomorfismo

Teorema

Sia $f:X\to Y$ una Mappa Continua biiettiva. Se $X$ è Compatto e $Y$ è di Hausdorff, allora $f^{-1}$ è continua, cioè $X$ è omemorfo a $Y$

Dimostrazione

Per dimostrare che $f^{-1}:Y\to X$ è continua, basta dimostrare che la controimmagine di ogni chiuso mediante $f^{-1}$ è chiusa. Cioè che se $C\subseteq X$ è chiuso, allora $f(C)$ è chiuso.
Sia $C\subseteq X$ un chiuso di $X$. Poiché $X$ è compatto, allora anche $C$ è compatto per questo teorema.
Sappiamo che $f$ è continua, dunque $f(C)$ è a sua volta compatto in quanto immagine di un compatto mediante funzione continua.
Dal momento che $Y$ è $T_2$, per questo teorema risulta che $f(C)$ è chiuso in quanto compatto.
Quindi $f^{-1}$ è continua