Teorema sull'Unione di Spazi Connessi

Teorema

L’unione di una collezione di sottospazi connessi di uno spazio topologico $X$ aventi un punto in comune è connessa.

Dimostrazione

Siano $\{A_{\alpha }\}$ una collezione di sottospazi connessi e sia $a=\bigcap _{\alpha }{A}_{\alpha }$ un punto il comune tra di essi.
Sia $Y=\bigcup _{\alpha }{A}_{\alpha }$. Supponiamo per assurdo che $Y$ non sia connesso, ossia che esistano $C,D$ aperti non vuoti di $Y$ tali che $C\cup D=Y$ e $C\cap D=\varnothing$.
Allora, si avrebbe che $a\in C$ oppure $a\in D$. Supponiamo senza ledere la generalità che $a\in C$.
Poiché gli $A_{\alpha }$ sono connessi, allora per il Lemma sugli Spazi Connessi e Sottospazi si ha che $A_{\alpha }\subseteq C,\forall \alpha$. Ma allora si avrebbe che $Y=\bigcup _{\alpha }{A}_{\alpha }\subseteq C$, da cui l’assurdo, in quanto $D\ne \varnothing$ per ipotesi. Dall’assurdo segue la tesi